礎問題上的重要理論和進展密切相關。但正如科納(P.Koellner)所指出的，數學哲學中絕大多數工作卻相反，它們與當代數學的發展幾乎毫無關係。([5])造成這種局麵的原因十分複雜，不屬於本文討論的範圍。但是，十分確定的是:加強這個方向的研究，保持數學哲學與數學的最新進展的密切聯係，應該能期待巨大的收獲。當然，這也不可避免地使得這類數學哲學研究更為數學化。
最後，文章中的數學定義和定理，從某種意義上，是我們為論證而搜集的證據。借助這些定理，讀者可以更好地把握概念間的關係，大致看出當今集合論發展的脈絡，從而體會出其中的哲學意蘊。郝兆寬.楊躍柏拉圖主義與集合論終極宇宙。
1獨立性現象與數學真理
集合論中充滿了獨立性現象。在這些現象背後的是有關集合論真理的哲學問題，即:
一個集合論語言中的語句σ是真的，這是什麽意思
有一派觀點認為σ是真的當且僅當。在ZFC中可證。
我的感覺是，除了那些一致性命題，ZFC窮盡了我們的直觀，所以，證明意味著在ZFC內證明。([7]，第3頁)
而這就意味著那些獨立於ZFC的語句沒有真假可言。
這是一個有重大影響的選擇。其中最重要的影響就是承認CH本身是無意義的，而CH也許是我們對不可數集合所能提出的第一個重要問題。([1]，第13頁)
這樣的立場被稱為“形式主義”。與之相對應的立場是“柏拉圖主義”，它認為一個集合論語句為真當且僅當它描述了集合宇宙中的一個客觀事實。獨立性命題產生的原因是我們對客觀數學世界的認識不夠完備。但這不意味著這些命題本身是沒有真假的無意義命題，相反隨著對集合宇宙認識的不斷深入，我們最終會決定它們的真假。
基於此處采取的立場，從已接受的集合論公理出發，一個有關康托猜想的不可判定性的證明(與一個對的超越性的證明完全不同)決不是問題的解決。.集合論概念和定理描述了一個完全確定的實在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源於今天已接受公理的對它的不可判定性，隻能意味著這些公理沒有完備地描述那個實在。這一信念絕非空想，因為有可能指出一些方向，在其中能得到對一些問題的判定，而這些問題對於通常的公理是不可判定的。([4]，第260頁)
把所有獨立於ZFC的命題都看作無意義的，這種觀點有一個困難就是這些命題在認識論地位上不是完全等價的。例如，有人認為CH無意義，因為“任意實數的子集”這個概念模糊不清。但是，幾乎不會有人認為“所有投影集都是可決定的(PD)”無意義，因為這其中並不涉及“任意實數子集”的概念，而隻是談論了投影集這樣的具體可定義的數學對象。但PD與CH一樣，是獨立於ZFC的。因此，武丁(H.Woodin)向形式主義提出了如下挑戰:
……(形式主義)這種立場要站得住腳，那就或者集合論中類似的不可解問題也必須被看作是無意義的，或者必須解釋為什麽連續統假設的問題是與那些問題不同的。我指的是那些描述集合論的經典問題，它們在連續統假設提出不久也被提了出來。([8]，第29頁)這要求人們進一步仔細分析PD與CH:
定義1.1無窮基數δ是武丁基數當且僅當對任意函數f:δ→δ，存在初等嵌入j:V→M，如果κ\u003dcrt(j)，則f[κ]M並且Vj(f)(x)M。我們用
W\u003d{δ|δ是武丁基數}
表示全體武丁基數的類。
1985年武丁證明了以下定理:
定理1.2(武丁，1985)如果M是ZFC的傳遞模型，並且M“W是真類”，則對任意M脫殊濾G，
VM＜VM[G].
ω 1ω 1
VM＜VM[G]蘊涵著VM和VM[G]
ω 1ω 1ω 1ω 1
初等等價，因此以上定理就表明，如果存在任意大的武丁基數，則任何形如“Vω 1╞σ”這樣的句子都不能用(集合)力迫的方法證明其獨立性。此時我們稱V11的一階理論Th(V1)是脫殊絕對的。這一結果的意義在於，大基數
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