中某個大基數公理成立。這項研究計劃的動機源自於斯科特(D.Scott)的以下定理:
定理3.1(斯科特，1961)假設存在一個可測基數，則V≠L。
也就是說，哥德爾的L不能容納可測基數，當然也不能容納更大的基數。所以，這樣的問題自然就被提了出來:
是否存在一個類似於L的模型，它能容納可測基數或更大的基數
很快，庫能(K.Kunen)證明了
定理3.2(庫能，1970)假設U是κ上的κ完全的正則非主超濾，則在L[U]中，κ是一個可測基數，並且是唯一的可測基數
這實際地開啟了內模型的研究計劃，並且在隨後的年代裏，這個計劃取得了相當的成功。目前人們已經能夠構造可以容納強基數的內模型。
但是，Ω猜想與已有的具有內模型的大基數都是相容的，所以要證明它不成立，我們需要容納更大無窮的內模型。不唯如此，能證明Ω猜想不成立的大基數公理一定在大基數層譜中處於一個十分關鍵的位置，這一位置必定會有“來自內模型理論的證據”。(參見[9])
另一方麵，如果Ω猜想在所有已知的大基數公理下都成立，那就是猜想在V中成立的強烈依據。而武丁有關終極L的研究表明，所有的證據都顯示，沒有任何已知的大基數公理會否證猜想。我們以下簡述這一重要的思想。(在以下的討論中，所有未注明的定理和定義都屬於武丁。)
如果存在可測基數，則V≠L，所以L雖然具有很好的結構性質，並且V\u003dL可以解決包括CH在內的獨立性問題，但它不可能是新公理的候選，L與V相差太遠了。庫能的L[U]可以容納可測基數，在這個意義上比L更接近V。但是，L［U]中隻有一個可測基數，它甚至不能容納第二個可測基數，更不必說更大的基數了。所以，最終的任務就成了構造一個可以容納所有大基數的類L結構，人們將這樣的結構稱為“終極L”。這看起來是不能完成的任務，因為在構造容納大基數的內模型的過程中，人們發現每向上一步，都隻能得到僅僅包含一個相應大基數的模型，要想容納所有的大基數，我們有無窮多個內模型需要構造。但是，武丁的一個重要發現徹底改變了這種情形，這又需要一些新的數學定義:
定義3.3假設N是一個ZFC的模型，δ是一個超緊基數，如果對任意λ＞δ，存在Pδ(λ)一個δ-完全的正則精良超濾U滿足:
(1)Pδ(λ)∩N∈U;
(2)U∩N∈N，
就稱N是關於δ是超緊基數的弱擴張子模型(weakextendermodel)。
弱擴張子模型之所以重要，是因為它有我們需要的性質。首先，它十分接近V。就我們目前的問題而言，這意味著它有正確的基數概念。
定理3.4假設N是關於δ是超緊基數的弱擴張子模型，並且在N中，λ＞δ是正則基數，則在V中，cf(λ)\u003d|λ|。特別地，如果λ在V中依然是基數，則它在V中是正則的。
推論3.5假設N是關於δ是超緊基數的弱擴張子模型，並且在V中，γ＞λ是奇異基數，則
(1)λ在N中是奇異基數;
(2)(γ )N\u003dγ ，即N能正確地計算奇異基數的後繼。
不僅如此，與以往的內模型不同，弱擴張子模型可以容納任意多的可測基數。
推論3.6假設N是關於δ是超緊基數的弱擴張子模型，並且在V中，κ＞δ是奇異基數，則κ在N中是可測基數。
事實上，弱擴張子模型可以容納δ以上的所有大基數!
定理3.7(普遍性)假設N是關於δ是超緊基數的弱擴張子模型，並且在V中，γ＞δ是正則基數，並且
π:(H(κ ))N→(H(π(κ) ))N
是一個初等嵌入，並且crt(π)＞δ，則π∈N。
也就是說，V中δ以上的大基數都在N中保持為δ以上的大基數。這不能不說是一個令人驚奇的結果。
但是，弱擴張子模型是否存在呢到目前為止它隻是一個抽象的概念。但有一些數學“證據”暗示其存在。
定理3.8(詹森
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