，1974)L或者非常接近V或者離V很遠。即以下二者必居其一:(1)對任意V中的奇異基數γ，γ在L中是奇異基數，並且(π )L\u003dγ ;(L非常接近V。)
(2)每個不可數基數在L中都是不可達的。(L與V相差很遠。)
武丁則得到了關於HOD的類似結果。
定理3.9假設κ是可擴張基數，則HOD或者非常接近V，或者(在κ以上)離V很遠。即以下二者必居其一
(1)對任意V中的奇異基數，γ在HOD中是奇異基數，並且(γ )HOD\u003dγ ;(2)所有大於κ的正則基數在HOD中都是ω-強可測基數。
假設存在可擴張基數，則無論哪種情況成立，HOD中都存在一個可測基數。因為如果(1)成立，則HOD是r是超緊基數的弱擴張子模型，r顯然是HOD中的可測基數。而如果(2)成立，則更是顯然。
HOD猜想HOD接近V，或者說，在ZFC內可以證明:在HOD中，{δ|δ是正則基數但不是ω-可測基數}是一個真類。
如果HOD猜想成立，則HOD是一個弱擴張子模型，反之亦然。
定理3.10假設κ是一個可擴張基數，則以下命題等價:
1.HOD猜想成立;
2.HOD是κ是超緊基數的弱擴張子模型。
那麽，HOD猜想是否成立呢它會不會像CH本身一樣是獨立的呢從目前的證據來看，這似乎不可能。因為武丁證明，HOD猜想是脫殊絕對的:如果HOD猜想在V中成立，則它在V的所有脫殊擴張中都成立。所以不可能用力迫法證明HOD猜想的獨立性，而力迫法又幾乎是唯一證明獨立性的手段。
還有一些支持HOD猜想的證據，目前已經知道的是以下這點與ZFC一致:ω1和ω2在HOD中是ω-強可測基數。但是，我們甚至不知道HOD中是否能夠容納4個ω-強可測的正則基數;也不知道對任意奇異基數γ，γ 是否是HOD中的ω-強可測基數;更不知道是否存在超緊基數以上的ω-強可測的正則基數。
如果HOD猜想成立，則HOD包含了一個弱擴張子模型，而這樣的模型可容納所有已知的大基數，因此是某種意義上的“終極L”模型。武丁還提出了這樣一種設想，即，在不知道如何構造“終極L”的情況下，我們仍可以敘述公理!“V\u003d終極L”
V\u003d終極L公理
公理“V\u003d終極L”包括以下命題:
(1)存在武丁基數的真類W;
(2)對任意∑3-語句ρ，若ρ在V中成立，則存在一個通用貝爾集ACR，使得
HODL(A，R)∩VθL(A.R)╞ρ
終極L猜想假設K是可擴張基數，則存在模型N滿足;
(1)N是K是超緊基數的弱擴張子模型;
(2)NHOD;
(3)N╞“V\u003d終極L”
定理3.11假設終極L猜想成立，則:
1.CH成立;
2.V\u003dHOD;
3.Ω猜想成立。
這樣，我們可以合理地認為，如果終極L猜想成立，那它一定會在兩個方向上為數學中的柏拉圖主義辯護。首先，它證明Ω猜想成立，而根據第二節的分析，這從根本上拒絕了多宇宙的真理觀。因為，在Ω猜想成立的情況下，脫殊複宇宙真就可歸結為H(δ0 )中的真，這本質上與形式主義將真歸結為在ZFC中可證是一樣的。正如我們已經指出的，這種對真理的看法無法說明這樣的問題:為何一些獨立性命題是無意義的而另一些不是
其次，如果終極L存在，那ZFC的眾多模型中就有一個非常特殊的。它不僅可以容納所有已知的大基數，而且具有很好的結構性質從而解決所有的自然的獨立性問題。同時，在“終極L中為真”對於集合力迫又是免疫的，從而不能用通常的力迫證明其獨立性。終極L的這種特殊性自然需要哲學上的解釋。武丁多次強調，這種特殊性源自它十分接近V，那個真實的集合論宇宙。除了這種柏拉圖主義的解釋，我們暫時看不到任何其他的哲學立場能夠做到這一點。
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