K ，2） 可以選擇，以便與 中相幹。通過這種方式，我們得到一個序列 （，： n ＜ w） 和一個具有前麵所述屬性的嵌入 jn 序列。對於任何給定的 U 元素存在這樣一對序列，就會產生所聲明的結果。
定理 2.4.假設 k 是 I2 基數。然後有一個 nor - mal ultrafilter U on k 專注於超 - 巨大的基數.證明。假設 k 是 I2 基數，並讓初等嵌入 - 丁 j ： V ＜ M 與臨界點 K 見證，即 I2 基數，臨界序列的上確界為 。如果我們讓 U 是 k 上的 ul - 遍曆過濾器，我們可以很容易地證明 k\u0027＜ k 的集合使得存在一個基本嵌入 k ：V3V8，其臨界序列由 k\u0027 組成，後跟 j 的臨界序列，是 U 的成員（以下用 X 表示）。然後屬於這個集合的序數序列，連同可以從嵌入序列（k：K\u0027€ X）導出的嵌入集合，證明k是超巨大的。由於 k 在 M 中也是超巨大的，因此期望的結果如下。
這完成了a-巨大基數和超-巨大基數嚴格在I3和I2之間的一致性強度的證明。在下一節中，我們將討論 - 巨大和超 - 巨大基數的一致性強度。
3. @- 巨大和超 - 巨大基數的一致性強度
我們希望證明 A - 巨大基數和超 - 巨大基數的一致性強度大於任何先前的 con - 邊形大 - 基數公理，不知道與 ZFC 不一致。
麥卡勒姆
我們將從定義[2]中討論的一些大基數公理開始。
定義 3.1.我們說序數＞滿足拉沃公理，如果以下條件成立。有一個集合 N，使得 V1 1CNCV 2 和一個初等嵌入 j ： L （ N ）＜ L （ N），使得：
（1） N \u003d L （ N ） N Vx 2 和 crit（ J ）＜ x ;(2） NN C L （ N ）;（3） 對於所有 F ： VA 1→ N \\{ W } 使得 F ∈ L （ N ） 存在 G ： Vx 1→ Vx 1 使得 G € N 並且對於所有 A €V1 1， G （ A ）€ F （ A ）。
我們將在第6節末尾陳述一個引用拉沃公理的主張，但在本節中不再進一步提及。定義 3.2.我們將序列 （ Ea （ VA i ）： a ＜ Tva 1） 定義為最大序列，使得以下序列成立。
（1） E （ Va 1）\u003d L （ Va 1） N Va 2 和 E （ Va 1）\u003d L （ Va 1）#） NVa 2.（2）假設一個＜ Tv，而a是極限序數。那麽 E （V1 1）\u003d L （ U { Eg （ VA 1）： B ＜ a }） NVa 2.
（3）假設一個 1＜ Tv”。然後對於一些 X € E 1（ V 1），E （ Vi 1）＜ X ，其中我們的意思是存在一個超射π：Va 1→ E （ Vi 1） 與 T E L （ X ， V 1），E 1（ Vi 1）\u003d L （ X ，V1 1） N V1 2，如果 2＜ Tvs 1，則 Ea 2（ Va 1）\u003d L （（ X ， Vx 1）*） N Vx 2。
（4）假設一個＜ Tv 那麽存在XCVi 1，使得E（Vi 1）CL（X，V1 1）並且有一個適當的基本em - 床上用品j ： L （ X ， VA 1）＜ L （ X ， VA 1），這意味著J是臨界點低於＞的非平凡，對於所有X\u0027€ L （ X ，V1 1） NVX 2，存在一個Y € L （ X ，V1 1） N Vi 2，使得（X，： i ＜ w ） E L （ Y ，V1 1），其中Xo \u003d X \u0027 and Xt4 1\u003d j （X1） 對於所有i ≥0。
（5）假設一個＜ Tv“是一個極限序數，設N \u003d E（Vx 1）。
Then either
（ 一 ）（ cof （ OM ））L （ N ）＜入，或
（ 二 ）（ cof （⊕ N ））2（ N ）＞》 和某些 Z € N ， L （ N ）\u003d（ HODv ，1u（2））2（ N ）。
這裏 ON \u003d sup { OL （ X .V 1）： X € N } 其中 OXVx 1） 是序數 y 的上確界，可以作為域 V1 1 的超射的餘域，其中射是 L （X， Vi 1） 的元素。
（6）假設一個 1是極限序數，並設N \u003d E（V3 1）。
Then either
新的大 - 基數公理和終極 - L 程序
（ 一 ）（ cof （ ON ））L （ N ）＜）， 和 Eo 1（ VA 1）\u003d L （ NA ， N ） N Va 2， 或
（ 二 ）（ cof （ ON ））Z（M ）＞ l 和 Ea 1（ VA 1）\u003d L（（N）， N ） N VA 2，其中 E（N） 是初等嵌入 k ： N ＜ N 的集合。
定義 n ：\u003d l （ u { e （ v 1）| a ＜ T
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