V }） N V 2. 假設 cof （ ON ）＞入 和 L （ N ）≠（ HODvs IU （ Z ） E （ M ） 對於所有 Z E N，並且進一步存在一個帶有crit（J） ＜＞ 的基本嵌入 j：L （ N ） L （N）。然後我們說＞滿足伍丁公理。
定理 3.3.假設 k 是 w - 巨大的，如 se - quence （ kin ： n ＜ w ） 所見證的那樣。那麽Vro是一個模型，用於斷言有一個滿足Woodin公理的X的適當類。
證明。假設定理陳述中給出的假設和符號。如果我們讓 入 ：\u003d sup { kn ： n ＜ w }，則存在一個具有臨界序列 （ Kn ： n ＜ w ） 的基本嵌入 j ： Va 1＜ Vx 1 ）。顯然，它足以證明滿足伍丁公理，也可以證明滿足拉沃公理，假設 V \u003d OD，ixinVie
假設一個集合序列（E（V1 1）：一個＜B）滿足伍丁公理定義的要求（1）-（6），相對化為Vk，對於某些β≤電視，並定義N為Eg的唯一可能候選日期（如果存在）。超限歸納法可以證明L（j（N）UV 1） NV \u003d L（N）NV。然後，考慮到j對這樣一個N的元素的作用是由j決定的|V，並且使用w-巨大性的假設，可以通過超限誘導證明j對L（N）V的限製是L（N）nVk＜L（N）n Vk的基本嵌入，在B＜TVa i的情況下是合適的＞：這樣就完成了論證。
這完成了一個 - 巨大和超 - 巨大的基數比任何以前未知不一致的 ZFC 的邊擴展具有更大的一致性強度的證明。
4. VIRTUALLY a - ENORMOUS AND HYPER - ENORMOUS CARDINALS
拉爾夫·辛德勒（Ralf Schindler）和維多利亞·吉特曼（Victoria Gitman）在[4]中引入了虛擬大基數性質的概念。給定任何大的 - 基數屬性。
參考定義一個集合大小的基本嵌入j：V V3或此類嵌入的族，對應的虛大基數。
McCALLUM
屬性以相同的方式定義，除了通過基本 em - 床上用品 j :(Va ）＜（ VB ） 其中 j E VG 表示 V 的集合泛型擴展。實際上是一個 - 巨大或超 - 巨大基數概念是明確的。我們將在本節中陳述一個關於幾乎超 - 巨大基數的結果，並將在第 6 節後麵陳述一個關於幾乎 w - 巨大基數 - nals 的結果。
定理 4.1.如果 k 是一個可測基數，並且 V \u003d HOD，則在 k 中有一個序列共尾見證 k 的虛擬超巨大性。
證明。假設臨界點 K 的 j ： V ＜ M 見證了 k 的可測性。然後有一個基本嵌入j\u0027：Ve 1Y（MNV2（） 1），它出現在M的泛型擴展中（這裏使用假設V \u003d HOD）。迭代反射產生所需的結果。
5. INCONSISTENCY OF THE CHOICELESS CARDINALS
很有可能，非平凡初等嵌入 j ： Va 2＜ Va 2 的臨界點可以證明是超 - 巨大的假設 - 取決於選擇公理（但顯然不是完整的選擇）。然而，在下麵的內容中，我們隻需要使用一個較弱的陳述，它可以在沒有任何形式的選擇的情況下證明。
定義 5.1.假設 a 是一個極限序數，使得 a ＞0，並且 （k3：β＜@） 與基本嵌入的族 F 一起見證 k 是一個巨大的，族 F 中隻有一個嵌入見證了 a - 對於每個小於 a 的有限序數序列的巨大性。假設給定任何小於 a 的序數 （B;： i ＜ w） 的 w-序列，有一個初等嵌入 j ： Vi 1 Vi 1 與臨界序列 （kB ，： i ＜ w），通過將 F 中明顯的 w-嵌入序列粘合在一起而獲得，其中 入：\u003d suPnew KBn ·然後基數 k 被稱為 - 巨大的 *。
定義 5.2.假設基數 k 是 k - 巨大的 *。然後 k 被稱為超 - 巨大的 *。
在本節中，我們希望證明以下定理。
定理 5.3.與 ZF 不一致的是存在序數 X 和非平凡初等嵌入 j ： Vi 2 Vi 2。
證明。同樣的推理表明每個 I2 基數 k 都有一個正態超濾子 U 集中在超巨大基數上，在 ZF 中也表明，如果 k 是初等嵌入 VA 2＜ VA 2 的臨界點，那麽有一個正態超濾子 U 集中在序列 （ k 。：一個＜k），它見證了k是超的 - 巨大的*。
在[6]中，加布裏埃爾·戈德堡也使用迭代坍縮強迫證明，如果這種嵌入的存在與ZF一致，那麽它也與V是良可排序的一致（使用井-排序，如果m＜n和（K ： i E w）是j的臨界序列，映射jn-m映射井的限製-排序為V。 對井的限製 - 訂購到 V \\ Vg ）。
所以假設這兩個假設的合相，在ZF中，設k是嵌入的臨界點，設S是前麵提到的序列（ka：a ＜k）。對於每個 a ＜ k，設 E 。是 [a] w 上的等價關係，它持有兩組小於 k 的序數。其元素按順序構成兩個可數無限長度的序列，當且僅當所討論的兩個序列具有相同的尾巴。有一個序列（ C .：a ＜ k） 使得對於每個 a ＜ k，Ca 是 Ea 等價類的選
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