phi(x_{n})|\\Omega\\rangle 我們利用了 H|\\Omega \\rangle\u003d0 . 我們先考慮u很小，以至於這個變換仍然在U內，所以g(u)\u003d0 因為H正定，g(u)在u的複平麵的上半平麵是一個解析的函數。因此g(u)可以做 泰勒展開，並且隻要存在一段上它是0,這個泰勒展開就是嚴格為0的，因此保證了 g(u)在任何u的值的時候都是0. 所以函數 \\langle \\chi |\\phi(x_{1})\\phi(x_{2}).....\\phi(x_{n} ut)|\\Omega\\rangle\u003d0 對 於任意的u都恒成立。，然後可以繼續進行這個操作，因為流形M上的任何一點， 都可以通過U上的點和類時的矢量往未來或者過去演化得到（想象zigzag的形 狀）。然後對於x1,x2都重複xn的操作，所以雖然開始限製了x點的取值在u內，但 其實根據上麵的敘述，這個限製是可以去掉的。這就是Reeh-Schlieder定理的證 明。 Reeh-Schilieder定理有一個簡單的推論： 考慮兩個類空的區域U，V，如果b算符在V內，假設 b\\Omega\u003d0 ，那麽再考慮U內的算符a。 我們有[a,b]\u003d0 b(a\\Omega)\u003dab\\Omega\u003d0 因為 a\\Omega 是稠密的，所以b\u003d0。 這樣如果本身 beq0 ，那麽就存在矛 盾。所以假設不對，因此得到 b\\Omega eq 0 . a和b的角色是對稱的，所以也能推得 a\\Omega eq 0 . 這個推論下給出兩個定義，對於U區域，有一個算子代數 \\mathcal{A}_{U} ,然 後 如果 a \\Omega, a \\in \\mathcal{A}_{U} 是稠密的，那麽我們說 |\\Omega\\rangle這個態對於算子代數是cyclic的。 對於不等於0的 a \\in \\mathcal{A}_{U} ,如果 a|\\Omega\\rangle eq 0 .就說 這個態對於算子代數是separating的 Reeh-Schlieder定理和它的推論給出了真空態是一個cyclic separating的矢 量。 Tomita Takasaki 理論和Modular Hamiltonian： 定義馮諾伊曼代數 \\mathcal{A} 和它的互補 \\mathcal{A}\u0027 起點是Tomita算子，即一個反線性的算符 S_{\\Omega}: \\mathcal{H} \\to \\mathcal{H} S_{\\Omega}O |\\Omega\\rangle\u003dO^{\\dagger}|\\Omega\\rangle S_{\\Omega} 是一個態依賴的算子，並且需要依賴於真空態的cyclicseparating的性質。通過定義易得 S^{2}\u003d1 , S|\\Omega\\rangle\u003d|\\Omega\\rangle ，同時定義 S^{\\dagger} 定 義在代數 \\mathcal{A}\u0027 上。 如果S是可逆的，那麽就有如下唯一的分解 S\u003dJ\\Delta^{1/2} , \\Delta 是modular算子， J 是一個反幺正的算符叫做 modular conjugation。 \\Delta
本章尚未完結,請點擊下一頁繼續閱讀---->>>