\u003dS^{\\dagger}S ,著名的modular Hamiltonian就是通過這個算子得出 的， \\Delta\u003de^{-K} . 真空態算符在這些作用下都是不變的 J|\\Omega\\rangle\u003d\\Delta|\\Omega\\rangle\u003d|\\Omega\\rangle Tomita-Takasaki理論的核心是說,馮諾伊曼代數按照modular變換不變： \\Delta^{it} \\mathcal{A}\\Delta^{-it}\u003d\\mathcal{A} 同時modular conjugation誘導出這樣一個變化 JAJ\u003dA\u0027 Tomita-takasaki理論是能夠推導relative entropy的單調性的一種很直接的方 法，因此也就能夠比較直觀的證明糾纏熵的強次可加性。同時，這種通過J對於算符 的構造，比如 O\u0027\u003dJOJ 還可以應用到構造黑洞內部的算符的過程中。 最後看一下最簡單的情況下Modular Hamiltonian怎麽寫，通常來說， Modular Hamiltonian作為非局域算符是非常難以計算的。 在Rindler時空下，在假設希爾伯特空間可以factorize的時候， \\mathcal{H}\u003d\\mathcal{H}_{L} \\otimes \\mathcal{H}_{R} modular算符 \\Delta\u003d\\rho_{r} \\otimes \\rho_{l}^{-1} 因為態可以通過歐式路徑積分來表達，這時在做了歐式轉動之後，密度矩陣元 由boost算子給出 所以 \\Delta_{\\Omega}\u003dexp(-2\\pi K_{r})exp(2\\pi K_{l})\u003dexp(-2\\pi K
以上基礎對於本文較為重要。
首先簡單介紹一下von-Neumann代數的分類，von-Neumann代數可以分為3類
最簡單的一類是type I 的von-Neumann代數，通常的量子力學係統滿足的是這一類代數。 作用於希爾伯特空間K上的所有有界算子（bounded operator）組成type I的von-Neumann代數。根據希爾伯特空間K的維數決定不同的馮諾依曼代數。例如如果K是有限維的，那麽代數屬於type IdI_{d} , 如果K是無窮維的，那麽代數屬於type I∞I_{\\infty} . type I的馮諾依曼代數可以定義一個線性函數： a→Traa \\to Tr a
滿足交換性和非負性
Tr(ab)\u003dTr(ba),Tr(a†a)⩾0fora≠0Tr(ab)\u003dTr(ba), \\quad Tr(a^{\\dagger}a) \\geqslant 0 \\quad for \\quad a eq 0
因此它是求跡運算，例如對應於有限維，可以把算符寫成矩陣，求跡就是通常大家所熟悉的矩陣求跡。
通常考慮無窮維的情況，數學上可以構造更多非平庸的馮諾依曼代數。
首先來構造type II的代數，考慮如下的最大糾纏的EPR態
12(|↑⟩|↑⟩ |↓⟩|↓⟩)\\frac{1}{\\sqrt
本章尚未完結,請點擊下一頁繼續閱讀---->>>