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也是必須要根據態空間的限製進行指定，即隻有除了有限n個算符之外，其他 aa 都是恒等算符的時候，才是合理的算符空間。以上算符a（ A0\\mathcal{A}_{0} ) 還不足以生成一個算符空間，因為它並不是閉（closed）的，要讓其閉合，需要引入極限要求算符可以收斂，最後算符空間的定義為
a:H→H,aχ\u003dlimn→∞a(n)χforχ∈Ha: \\mathcal{H} \\to \\mathcal{H}, a\\chi\u003dlim_{n \\to \\infty} a_{(n)} \\chi \\quad for \\quad \\chi \\in \\mathcal{H} .
當然我們也可以定義相應的a\u0027空間，它們組成的互補代數 A,A′\\mathcal{A},\\mathcal{A\u0027} 互相同構。 定義關於 A\\mathcal{A} 和 A′\\mathcal{A}\u0027 代數是cyclic和seperating的態。
Ψ\u003dI2′⊗I2′.....⊗I2′...∈H\\Psi\u003dI_{2}\u0027 \\otimes I_{2}\u0027.....\\otimes I_{2}\u0027...\\in \\mathcal{H}
一個自然的線性函數是
F(a)\u003d⟨Ψ|a|Ψ⟩F(a)\u003d\\langle \\Psi|a |\\Psi\\rangle
可以看出這個函數給出了求跡的定義，來驗證一下
首先因為 |Ψ⟩|\\Psi\\rangle 是seperating的，所以對於非零的a， a|Ψ⟩≠0a|\\Psi\\rangle eq 0 ,所以首先 F(a†a)⩾0F (a^{\\dagger}a) \\geqslant 0
而對於兩個算符a，b,
F(ab)\u003dTrM2[1]⊗....M2[k]a1b1⊗a2b2...⊗akbk\u003dF(ba)F(ab)\u003dTr_{M_{2}^{[1]} \\otimes....M_{2}^{[k]}}a_{1}b_{1} \\otimes a_{2}b_{2}...\\otimes a_{k}b_{k}\u003dF(ba)
因此滿足這個交換性，（我們注意到實際上定義完von-Neumann代數之後，cyclic seperating態的結構在這個交換性上產生了重要作用）。 因為以上性質，這個線性函數定義了求跡的運算，相應的von-Neumann代數被稱為type II的，而能否定義求跡運算，實際上構成了type II和type III代數的最終區別。
下麵介紹type III的代數：
type III的von-Neumann代數則是性質最差的，此時不僅無法定義子區域的希爾伯特空間，甚至求跡操作都沒法良好定義。相比於前兩個，它也是更為一般的von-Neumann代數。 考慮一般的兩體糾纏，此時不是最大糾纏，可以把描述兩體糾纏的矩陣寫作
K2,λ\u003d1(1 λ)1/2diag(1,λ1/2)K_{2,\\lambda}\u003d\\fr
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