ac{1}{(1 \\lambda)^{1/2}} \\mathrm{diag}(1,\\lambda^{1/2}) , diag表示對角矩陣。
此時構造type III的方法就是把構造type II時的所有 I2′I_{2}\u0027 換為 K2,λK_{2,\\lambda} .
同時要求態除了有限個之外，其他的 vnv_{n} 都等於 K2,λK_{2,\\lambda} . 根據態空間的結構，也可以類似的構造其上的算符，先定義 A0\\mathcal{A_{0}} ,然後再采取相同的步驟利用極限保證代數閉合，因此定義的代數是 Aλ\\mathcal{A}_{\\lambda} , 因為定義代數閉合的時候需要利用希爾伯特空間，因此 Aλ≠AA_{\\lambda}eq \\mathcal{A} ，因此會得到和type II不同的代數結構。對於相應的代數，此時的cyclic seperating態為
Ψ\u003dK2,λ⊗K2,λ.....⊗K2,λ....\\Psi\u003dK_{2,\\lambda} \\otimes K_{2,\\lambda}.....\\otimes K_{2,\\lambda}....
可以很自然的去進行驗證，此時 F(a)\u003d⟨Ψ|a|Ψ⟩F(a)\u003d\\langle \\Psi|a|\\Psi\\rangle 定義給出的線性函數不滿足 F(ab)\u003dF(ba)F(ab)\u003dF(ba) ，因此代數不再有一個合理的求跡的定義。
對於 λ≠λ′\\lambda eq \\lambda\u0027 時，通常 Aλ,Aλ′\\mathcal{A}_{\\lambda}, \\mathcal{A}_{\\lambda\u0027} 不是同構的。以上的構造也可以進行推廣，即我們可以取不同的 K2,λK_{2,\\lambda}
此時就有一個數列的 {λ1,λ2,...λn}\\{\\lambda_{1},\\lambda_{2},...\\lambda_{n}\\} , 如果以上的數列收斂於一個特定的 λ\\lambda ,那麽得到的代數和之前說的一致，叫做 TypeIIIλType III_{\\lambda} .
而如果以上數列並不收斂，而是至少在兩個值之間震蕩的話，那麽就可以得到type III1III_{1} 代數。
以上我們就介紹完了三種馮諾依曼代數的構造，而通常的量子場論，它的代數都是type III的，實際上對於量子場論我們沒辦法像量子力學一樣去討論態的糾纏，因為此時希爾伯特空間不再具有直積的結構，因此不可以通過求跡得到子區域的密度矩陣。這也就是通常對於量子場論子區域糾纏熵發散的原因。
之前的研究通常都是取截斷來正規化這個發散，但是這樣就會將代數改變為type I的，進而再進行討論，這樣會不可避免的失去一些本質的信息。而通過代數的研究可以發現，量子場論中universal的子區域糾纏熵發散，並不是態的性質，而是von-Neumann代數的結構導致的。此時如果討論 A,A′\\mathcal{A},\\mathcal{A}\u0027 的糾纏我們會發現因為type III代數的結構導致糾纏熵實際上沒法良好定義，這是發散的本質。
本章已閱讀完畢(請點擊下一章繼續閱讀!)