通常的AdS/CFT模型中，場論需要取大N極限。
考慮CFT中的一個single trace 算符， 它的k點函數滿足 O(N2−k)O(N^{2-k}) ，因此取大N極限的話隻有兩點函數不為0。同時如果要想讓single trace算符具有合理的大N極限， 我們可以定義一個減除過後的single trace算符
W\u003dTrW−⟨TrW⟩\\mathcal{W}\u003dTr W-\\langle Tr W\\rangle
此時因為在大N極限下隻有兩點函數會出現，因此算符構成了一個自由場論。
考慮所有互相之間具有非零的對易子的算符，可以組成代數 AL,0,AR,0\\mathcal{A}_{L,0}, \\mathcal{A}_{R,0}, 它是定義在邊界上的 .根據對偶關係，有
AL,0\u003dAl,0.AR,0\u003dAr,0\\mathcal{A}_{L,0}\u003d\\mathcal{A}_{l,0}. \\mathcal{A}_{R,0}\u003dA_{r,0}
因此邊界上的single trace算符組成的代數等價於bulk中黑洞視界外的場論組成的代數。
那麽這個代數屬於哪種馮諾依曼代數呢？
通常對於一個熱場二重態
|TFD⟩\u003d∑ie−βEi/2|Ei⟩L|Ei⟩R|TFD\\rangle\u003d\\sum_{i}e^{-\\beta E_{i}/2}|E_{i}\\rangle_{L}|E_{i}\\rangle_{R}
它可以全息的描述一個永恒黑洞，不過此時需要注意的是，形成這個TFD的參數 β\\beta 描述的是左側或者右側黑洞的溫度，而在AdS時空中，存在霍金佩奇相變，因此溫度需要大於Hawking-page溫度這個描述才是成立的。
T＞TpageT＞T_{page}
而在page溫度以下，時空處於AdS真空態。對於真空態，大N極限可以良好的定義，因此通常可以認為代數在大N下滿足von-Neumann I∞I_{\\infty} ，而當溫度大於page溫度之後，其大N極限不能被良好的定義，表現在能量，熵等都會發散。（實際上這個大N極限的定義問題，對於理解高維的引力ensemble對偶具有重要意義） 表現在代數上，意味著此時在大N極限下，von-Neumann代數會變成type III1\\mathrm{III_{1}} 的. 同時TFD態的希爾伯特空間不再左右可分，上麵關於TFD態的寫法不再成立。這一點可以通過全息也能看出，根據全息，我們可以在黑洞背景下構造Hilbert空間，此時這個希爾伯特空間就是彎曲時空下量子場的希爾伯特空間，因此它必然是type III\\mathrm{III} 型的代數。
以上在取大N極限之後，演生出了一個type III1\\mathrm{III_{1}} 的von-Neumann代數。可以考慮是否可以將這個代數加入一些其他的元素，使其擴充為一個更大的代數。一個自然的想法是加入邊界的哈密頓量，考慮減除後的哈密頓量
HR′\u003dHR−⟨HR⟩H_{R}\u0027\u003dH_{R}-\\langle H_{R}\\rangle
因為 ⟨HR′2⟩∼N2\\langle H_{R}\u0027^{2}\\rangle \\sim N^{2} ,
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