這個哈密頓量依然沒有大N極限。為了定義它在大N極限下表現良好，可以定義
U\u003d1NHR′U\u003d\\frac{1}{N}H_{R}\u0027 , 在大N下U不為0也不發散，因此具有良好的大N極限。而對於 V∈AR,0\\mathcal{V} \\in \\mathcal{A}_{R,0} ,有如下關係
[U,V]\u003d1N[HR,V]\u003d−iN∂V∂t[U,\\mathcal{V}]\u003d\\frac{1}{N}[H_{R},\\mathcal{V}]\u003d-\\frac{i}{N} \\frac{\\partial \\mathcal{V}}{\\partial t}
取 N→∞N \\to \\infty ,我們發現 [U,V]→0[U,\\mathcal{V}] \\to 0 , 因此U是 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 這個代數的center。並且因為U和其他算符都對易，不滿足 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 中的元素要求，所以擴充後的代數結構為 AR\u003dAR,0⊗AU\\mathcal{A}_{R}\u003d\\mathcal{A}_{R,0} \\otimes \\mathcal{A}_{U} . 作用的空間為 HTFD⊗L2(R)\\mathcal{H}_{TFD}\\otimes L^{2}(R) . 此時的代數依然是type III\\mathrm{III} 的，但是因為它具有了一個非平庸的center，因此不再是一個factor。 一個代數是factor的定義是它隻有平庸（為常數）的center。
有趣的事情發生下 1/N1/N 階，此時根據對易關係
[HR′/N,a]\u003d(−i/N)∂ta[H_{R}\u0027/N,a]\u003d(-i/N)\\partial_{t}a ，此時因為考慮 O(1/N)O(1/N) 的修正，所以哈密頓量不能簡單的認同為U，而是也要考慮修正，好在此時的修正可以很容易的獲得
1NHR′\u003dU 1βNh^\\frac{1}{N}H_{R}\u0027\u003dU \\frac{1}{\\beta N} \\hat{h}
其中 h^\\hat{h} 是modular Hamiltonian， 它的定義如下
h^\u003d∫SdΣνVμTμν\\hat{h}\u003d\\int_{S} d\\Sigma^{u}V^{\\mu} T_{\\muu}
它具有簡單的邊界對偶，因此也可以作為邊界上的算符。
因此考慮原來的算符集合，加入 U h^/βNU \\hat{h}/\\beta N 算符之後的修正，此時因為這個算符與原算符 AR,0\\mathcal{A}_{R,0} 不再對易，因此不會形成一個直積的結構, 實際上 U h^/βNU \\hat{h}/\\beta N 產生的是一個外自同態（outer automorphism) 的結構，所以實際上代數為 AR\u003dAr,0⋊AU h^/βN\\mathcal{A}_{R}\u003d\\mathcal{A}_{r,0} \\rtimes \\mathcal{A}_{U \\hat{h}/\\beta N} .
外自同態(outer automorphism)的定義如下：
考慮一個 H\\m
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