athcal{H} 上的算符T， 如果 ∀a∈A,s∈R\\forall a \\in \\mathcal{A}, \\quad s \\in R , 都有
eiTsae−iTS∈Ae^{iT s}a e^{-iT S} \\in \\mathcal{A}
再考慮一個擴充的希爾伯特空間 H⊗L2(R)\\mathcal{H} \\otimes L^{2}(R) ,此時有一個更大的代數 A⋊R\\mathcal{A} \\rtimes R ，它的生成元為 a⊗1,eisT⊗eisXa \\otimes 1, e^{is T}\\otimes e^{is X} 或者是 aeisT⊗eisXae^{is T} \\otimes e^{is X}
當T屬於 A\\mathcal{A} 的時候，生成的自同態叫做inner的，而當 TT 不屬於 A\\mathcal{A} 的時候，生成的自同態是outer的。
如果這個自同態結構是通過 h^\\hat{h} 形成的，那麽此時這個R叫做模自同態群，可以看出加入邊界哈密頓量之後的single trace算符的代數結構就是上麵討論的這種數學構造。
一個數學定理說的是： 對於一個type III1III_{1} 的factor，它和其外模自同態群（outer automorhphism）形成的代數結構 AR\u003dAr,0⋊AU h^/βN\\mathcal{A}_{R}\u003d\\mathcal{A}_{r,0} \\rtimes \\mathcal{A}_{U \\hat{h}/\\beta N} 是一個type II∞\\mathrm{II}_{\\infty} 的von Neumann代數。 它也是一個factor。
type II的代數和type III的代數的一個重要不同在於，type II代數具有求跡的結構，而type III代數沒有。因此當代數轉變為type II的時候，可以自然的定義一個子區域的求跡，進而定義密度矩陣和糾纏熵。
下麵來探索，此時定義的求跡的表達式的形式：
考慮擴充的希爾伯特空間中的態 Ψ^\u003dΨ⊗g1/2(X)\\hat{\\Psi}\u003d\\Psi\\otimes g^{1/2}(X) , 其中 Ψ\\Psi 是關於代數 Ar,0\\mathcal{A}_{r,0} 的一個cyclic-seperating的態，因為 g1/2g^{1/2} 是恒正的，因此 Ψ^\\hat{\\Psi} 也是一個cyclic-seperating的態。
對於 Ar,0\\mathcal{A}_{r,0} 有一個modular 算符 ΔΨ\\Delta_{\\Psi} , 滿足如下的關係
⟨Ψ|ab|Ψ⟩\u003d⟨Ψ|bΔΨa|Ψ⟩\\langle \\Psi|ab|\\Psi\\rangle\u003d\\langle \\Psi|b \\Delta_{\\Psi}a |\\Psi\\rangle
證明比較簡單
⟨Ψ|bΔΨa|Ψ⟩\u003d⟨Ψ|bSΨ†SΨa|Ψ⟩\u003d⟨b†Ψ|SΨ†|SΨaΨ⟩\u003d⟨a†Ψ|SΨ|b†Ψ⟩\u003d⟨Ψ|ab|Ψ⟩\\langle \\Psi|b \\Delta_{\\Psi}a |\\Psi\\rangle\u003d\\langle \\Psi| b S^{
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