\\dagger}_{\\Psi} S_{\\Psi} a|\\Psi \\rangle \u003d\\langle b^{\\dagger}\\Psi|S_{\\Psi}^{\\dagger}|S_{\\Psi}a\\Psi\\rangle\u003d\\langle a^{\\dagger}\\Psi|S_{\\Psi}|b^{\\dagger}\\Psi\\rangle\u003d\\langle \\Psi|ab|\\Psi\\rangle
其中用到了Modular 算符的表達式 ΔΨ\u003dSΨ†SΨ\\Delta _{\\Psi}\u003dS_{\\Psi}^{\\dagger}S_{\\Psi} , 以及 SΨS_{\\Psi} 是一個反線性算符。
如果定義 au\u003deih^Ψuae−ih^Ψua_{u}\u003de^{i\\hat{h}_{\\Psi} u} a e^{-i \\hat{h}_{\\Psi} u} , 那麽也可以得到KMS關係 ⟨Ψ|aub|Ψ⟩\u003d⟨Ψ|bau i|Ψ⟩\\langle \\Psi|a_{u}b|\\Psi\\rangle\u003d\\langle \\Psi|b a_{u i}|\\Psi\\rangle
而對於擴充代數，此時它也應該具有一個相應的modular算符 Δ^Ψ^\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}
⟨Ψ^|a^b^|Ψ^⟩\u003d⟨Ψ^|b^Δ^Ψ^a^|Ψ^⟩\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{a}\\hat{b}|\\hat{\\Psi}\\rangle\u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{b}\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}\\hat{a}|\\hat{\\Psi}\\rangle , 此時 a^,b^∈Ar,0⋊Ah^Ψ X\\hat{a}, \\hat{b} \\in \\mathcal{A_{r,0}}\\rtimes \\mathcal{A}_{\\hat{h}_{\\Psi} X} , 記 X\u003dβNUX\u003d\\beta N U
因為此時 a^\u003daeis(h^Ψ X)\\hat{a}\u003da e^{is (\\hat{h}_{\\Psi} X)} ,容易驗證擴充後的modular算符的表達式為
Δ^Ψ^\u003dΔΨg(h^Ψ X)g(X)−1\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}\u003d\\Delta_{\\Psi} g(\\hat{h}_{\\Psi} X) g(X)^{-1}
這個公式意味著它可以拆分為兩部分 Δ^Ψ^\u003dK~K\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}\u003d\\tilde{K}K
K\u003dΔe−Xg(h^Ψ X),K~\u003deXg(X)K\u003d\\Delta e^{-X} g(\\hat{h}_{\\Psi} X), \\quad \\tilde{K}\u003d\\frac{e^{X}}{g(X)}
有了以上的準備工作，可以給出對於 A⋊R\\mathcal{A} \\rtimes R 上的算符 a^\\hat{a} 的trace
Tra^\u003d⟨Ψ^|a^K−1|Ψ^⟩Tr \
本章尚未完結,請點擊下一頁繼續閱讀---->>>