\hat{a}\u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{a}K^{-1} |\\hat{\\Psi}\\rangle
可以驗證它確實滿足trace的定義
Tra^b^\u003d⟨Ψ^|a^b^K−1|Ψ^⟩\u003d⟨Ψ^|b^K−1Δ^Ψ^a^|Ψ^⟩\u003d⟨Ψ^|b^K−1Δ^Ψ^a^Δ^Ψ^−1|Ψ^⟩Tr\\hat{a}\\hat{b} \u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{a}\\hat{b} K^{-1}|\\hat{\\Psi}\\rangle\u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}\\hat{a}|\\hat{\\Psi}\\rangle\u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{b}K^{-1}\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}\\hat{a} \\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}^{-1}|\\hat{\\Psi}\\rangle
帶入 Δ^Ψ^\u003dK~K\\hat{\\Delta}_{\\hat{\\Psi}}\u003d\\tilde{K}K ,就可以知道
Tr(a^b^)\u003d⟨Ψ^|b^a^K−1|Ψ^⟩\u003dTr(b^a^)Tr(\\hat{a}\\hat{b})\u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{b}\\hat{a}K^{-1}|\\hat{\\Psi}\\rangle\u003dTr(\\hat{b}\\hat{a})
這裏用到了 K~\\tilde{K} 和a對易。
利用 ΔΨΨ\u003dΨ,h^Ψ|Ψ⟩\u003d0\\Delta_{\\Psi}\\Psi\u003d\\Psi, \\quad \\hat{h}_{\\Psi}|\\Psi\\rangle\u003d0 , 求跡操作的定義可以寫為如下簡單的形式
Tr(a^)\u003d⟨Ψ^|a^eXg(X)|Ψ^⟩\u003d∫−∞∞dXeX⟨Ψ|a^|Ψ⟩Tr(\\hat{a})\u003d\\langle \\hat{\\Psi}|\\hat{a}\\frac{e^{X}}{g(X)}|\\hat{\\Psi}\\rangle\u003d\\int_{-\\infty}^{\\infty} dX e^{X}\\langle \\Psi|\\hat{a}|\\Psi\\rangle
有了trace的定義，就可以討論密度矩陣的定義，對於一個屬於Hilbert空間的態 |Φ⟩∈H|\\Phi\\rangle \\in \\mathcal{H} , 可以定義 ρ∈A\\rho \\in \\mathcal{A}
⟨Φ|a|Φ⟩\u003dTr(ρa)\\langle \\Phi| a |\\Phi\\rangle\u003dTr(\\rho a)
由以上定義可以看出，對於cyclic seperating的態 |Ψ^⟩|\\hat{\\Psi}\\rangle ,密度矩陣就是 K. 得到密度矩陣之後，自然也可以考慮子區域的糾纏熵
S(ρ)\u003d−Tr(ρlogρ)S(\\rho)\u003d-Tr(\\rho log \\rho)
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