【世界基數】
定義：一個基數 k 是 worldly cardin al ，如果 Vk \u003d ZFC .
我並不知道這個基數是誰提出的，這裏隻是做出一些解釋。下麵的結果應該都是已知的，但是我沒有去找參考文獻。我們用 WC 表示 workdly cardinal 。下麵的命題是顯然的。
命題1:ZFC 3 WCH Con ( ZFC Co n ( ZFC )).
由 Godel 不完備性， ZFC Con ( ZF C ）不能證明3WC．同樣 Con ( ZFC 3 WC )也不是 ZFC Con ( ZFC ）能證明的。
我們用 I 表示不可達基數。顯然每一
個不可達基數都是 WC ，因此：
命題2:ZFC 3I3WC.
但是最小的 WC 嚴格小於最小的 l 。命題3：如果 k 是不可達的，則存在世界基數入＆ amp ; amp ; It ; k 。
證明：假定 k 不可達，有 Skolem 定理（及其構造方法），存在可數模型 MO ＜ Vk 以及n0\u0026 amp ; amp ; lt ; k 使得M0EVn0。一般地，對於任意 i , Mi ＜ Vk 以及 ni \u0026 amp ; amp ; lt ; k 使得 MiEVni ，存在模型 Mi 1EVni 1使得 Mi 1＜ Vk 並且 Vni CMi 1。
令入＝ Uini \u0026 amp ; amp ; lt ; k 。顯然 Vi ( Mi ＜ Mi 1)。因而有模型論基本知識， U iMi ＜ Vk 。有構造，我們知道 V 入＝ UiMi 。因此 V 入＜ Vk 從而是 ZFC 的模型。因而入是 WC
由命題3，我們有以下推論：
推論3.1:ZFC 3 II Con ( ZFC 3 W
C ).
因此 WC 的協調性強度是嚴格弱於不可達基數的。由命題3的證明，我們可以推斷最小的世界基數具有共尾性ω。
還有人提及以下定義：
定義2：一個序數 a 是可擴的，如果存在 p \u0026 amp ; amp ; gt ; a 使得 Va ＜ VB 。
我們用 EC 表示可擴基數。顯然命題
3中的入就是可擴的。並且可以構造在 k 下另外一個入\u0027\u0026 amp ; amp ; gt ；入使得 V 入＜ V 入\u0027＜ Vk .@ ZS Chen 在評論裏提到了 Joel Hamkins 給了關於可擴基數的比較完整的描述（ The otherwordly cardinals )。其中下麵這個定理澄清了 EC 的強度
定理1( Hamkins ): ECS WC ，並且每一個 EC 下麵都有一個 WC 嚴格小於它．
注意雖然不可達基數的強度要嚴格高於存在 EC 的協調性，但是 I EC ．例如最小的不可達基數不屬於 EC。
【ZFC 公理宇宙】
1．不可達基數
可數，不可數，後繼，極限，正則，奇異。
不可達基數就是指不可數正規的強極限基數，如果是不可數正規的極限基數，則稱之為弱不可達基數。可數就是指小於等於阿列夫零的基數。反之不可數就是指大於阿列夫零的基數。後繼，就是指比它小的基數中有最大值，極限就是指比它小的基數中沒有最大值，強極限就是比它小的任意基數中，2的次方均小於它。正規就是到達它的最短長度等於本身，也就是若 k 是正則基數，則不存在小於 k 個小於 k 的集組之並的基數為 k ，或者說不存在小於 k 個嚴格遞增的序列，其極限為 k 。奇異就是到達它的最短長度小於本身。對於基數 k ，存在小於 k 的嚴格遞增的序列的極限為 k ,則 k 為奇異基數。正規和奇異基數引入了共尾度的概念，共尾度就是到達它的最短長度。後繼序數的共尾度是1。正則基數就是 cf ( k )\u003d k ，奇異基數就是 cf ( k )\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k .
不可達基數 k 就是對任意小於 k 的基數，取冪集的基數仍然小於 k 並且由任意小於 k 個小於 k 的集組之並的基數仍然小於 k 。而對比弱不可達基數隻要滿足＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的任意基數的後繼仍然＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 就行。而具有以上相同性質的可數基數就是阿列夫零。
舉個例子： cf (1)\u003d1, cf （任意有限數）\u003d1, cf ( w )\u003d w , cf ( w _1)\u003d w _1（不存在長度是 w 的序列，因為小於 w _1的基數是可數的，但可數個可數集之並（也就是它們的上確界）可數，不可能是 w _1)。 cf ( W _ w )\u003d w （長度 w 的序列取 w , w _1, w _
2,w3,......)。
對於極限序數，有 cf ( a )\u003d cf ( w _ a ),所以對於不可達基數 k , k \u003d w _ k ，但是，這樣的奇異不動點非常多。比如說 a 是任意的基數，然後設序數列 w _ a , w _( w _ a ),.....．設 k 是它們的確界，很顯然容易證明 k \u003d w _ k ，但是很遺憾，這基數仍然還是奇異基數，並且它的共尾度是 w 。
好了。以下基數的性質。
0，可數，正規，強極限。1，可數，正規，後繼。2，可數，非正規，後繼。 w ，可數，正規，強極限。 w _
1，不可數，正規，後繼。 w _2，不可數，正規，後繼。 w _ w ，不可數，非正規，極限。 w _( w 1)，不可數，正規，後繼。 w _( w _1)，不可數，非正規，極限。阿列夫不動點，不可數，非正規，極限。
很顯然，用替代公理模式獲取的基數，三個條件都不能同時滿足，所以都不是不可達基數。不過，在大於 w 的基數中，正規極限的基數則就是不可達基數。也可以說，從阿列夫零到不可達基數其概念意義上的距離，跟從0到阿列夫零是一樣的。
有了替代公理模式，你可以構造類似 omega - fixed - point \u003d{ xEwlf (0)\u003d w , f ( x )\u003d w _ f ( x -1)｝的集合，通過更大的 f 就能獲取更大的基數。但是，很顯然，由替代公理所迭代獲取出來的基數，全部都是奇異基數，其 xE 的那個數就是它的共尾度或者是共尾度比這個數還小，哪怕再大，均不符合 cf ( k )\u003d k 的條件。因此不可能抵達不可達基數。
不可達基數本身也是阿列夫數，同時也都是不可達的阿列夫不動點，貝斯不動點，極限基數（因為對於後繼基數阿列夫（ a 1)\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;\u003d2^阿列夫 a ，不符合強極限的定義）。同時不存在一個（ xE (\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ) lf ( x )\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k )的集合，使得其上確界為 k 。
還可以更抽象的理解不可達基數，假如連續統假設成立。則2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．.....你可以這樣迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）)，阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．.....)))，你所想象到的迭代，無論是多麽的變態，你都不可能迭代出不可達基數。因為不可達基數是正則基數，不可能從下至上抵達它。舉個例子，有限的數，它們經過任意有限次迭代，都不可能到達無窮大，隻能用∞這個符號表示，同樣，∞（指小基數）,哪怕它們經過任意8次迭代，也不可能到達不可達基數。
你取到 k 之後，那麽 k 和2^ k 都是正則的大基數，繼續對 k 替代公理模式以及對 k 取冪集，仍然不可達的就是第二個不可達基數。
2．馬洛基數
一個無窮基數 k 是馬洛基數（ Mahlo cardinal ）當且僅當 k 是一個不可達基數並且是“正則基數”。
{ A \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是正則基數｝是 k 上的平穩集［1]。如果 k 是馬洛基數，則是“不可達基數”。
{1\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是不可達基數｝是 k 上的平穩集，因此 k 是第 k 個不可達基數。
為了得到以上結論，我們來證明如果 K 是任何不可達基數，則是“強極限基數”
C :\u003d{\\\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是強極限基數｝是 k 上的無界閉集。先來證明閉性：
假設基數入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; k 是 C 的極限點，即入＝ sup ( C ∩入），則對
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