任何μ\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入有強極限基數 yECN 入使得μ\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，從而2μ\u0026 amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; y \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，從而入是一個強極限基數，故入 EC ,從而 C 是閉的。
無界性：任取序數 a \u0026 amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; k ，因為 k 的強極限性質，可以做以下基數序列（ yn \u0026 amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; klnEw ):
a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt :y0, y 1\u003d2y0,..., yn 1\u003d2yn,...
並取 y \u003d supnEwyn ，因為 k \u0026 amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; w 是正則的，所以 y \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 而且顯然 a \u0026 a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 。可以證明 v 是強極限的：任取μ\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; y ，則按照定義存在 nEw 使得μ\u0026 a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yn ，從而2μs2y n \u003d yn 1\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，於是 yEC 。這樣 C 就是無界的。
現假設 k 是馬洛基數，則是不可達基數，而且是正則的。
X :\u003d{\\\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是正則的｝是 k 上的平穩集。按照定義， XNC 也將是 k 上的平穩集，而為“不可達基數”。
XNC \u003d{\\\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入為不可達基數｝。因為 k 上的平穩集總是在 k 中無界，故 XNC 的基數也將是 k ，也即 k 是第 k 個不可達基數。
為了進一步考察馬洛基數，我們再來證明以下兩個命題：
命題1：如果是第一個不可達基數
K \u003d min （入入是第入個不可達基數｝，則 k 不是馬洛基數。
命題2:如果 k 是馬洛基數，則集合第入個不可達基數是｛入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是第入個不可達基數｝在 k 中無界。
先證明命題1：按照定義，任何小於 k 的不可達基數 y 都是第 a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; y 個不可達基數。現在定義是不可達基數：
X :\u003d{ y \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a
mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly 是不可達基數｝上的函數 f : X →→ k 使得 f ( y )\u003d a ，其中 a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y ，且 y 是第 a 個不可達基數。從而 f 是 x 上的退縮函數。如果 k 是馬洛基數，按照上一個證明， X 將成為 k 上的平穩集。按照福道爾定理，將存在一個 k 上的平穩集 SCX 和某個 B 使得任何 yES 有 f ( y )\u003d B ，即任何 yES 是第 B 個不可達基數。但我們知道第 B 個不可達基數隻有一個，這與 S 是平穩集矛盾。
命題2:假設是第入個不可達基數：
T :\u003d{\\\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是第入個不可達基數｝在 k 中有界，即 su pT \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。令 a \u003d su pT ，則集合 C \u003d{ B \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k |β\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; gt ; a ｝是 k 上的無界閉集。因為 k 是馬洛基數，所以
是不可達基數。
X \u003d{\\\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 入是不可達基數｝是 k 上的平穩集，按定義 XNC 也是 k 上的平穩集。而 XNC 是 k 中所有大於 a 的不可達基數的集合。而且每個不可達基數 yEXNC , y 不可能是第 v 個不可達基數，從而 v 隻可能是第 E \u0026 ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y 個不可達基數。重複命題1的證明，在平穩集 XNC 上建立一個退縮函數，利用福道爾定理便可引出矛盾。
3不可描述基數
不可描述基數是對 V 的不可描述性（表現為反射原理）的深入刻畫，即將 V 具有的不可描述性移植到作為集合的 Vk 上。對於作為大全的 V 我們不是很方便談論，但 Vk 可以。稱 k （實際也是 V K ）是∑ nm ﹣可描述的，在於存在一則∑ n m ﹣命題中，使得 p 僅在 Vk 中為真，即不存在 a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得中也會在 Va 中為真。換言之，滿足中這一描述的僅為 Vk ，中是 Vk 獨有的描述，故構成對 Vk 的本質描述。反之，稱 k 是∑ nm ﹣不可描述的，在於對任意∑ n m ﹣命題中， Vk 滿足中就意味著存在 a \u0026 a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k , Va 也滿足中，所以僅僅是滿足申並不意味著是在描述 Vk 。而\" k 是∑ nm ﹣不可描述的\"或\" K 是 Nnm ﹣不可描述的\"是則∑ n 1m﹣命題或 Nn 1m﹣命題，你的想法是對的，隻是\" k 是一階不可描述\"這點需要用二階語句來描述，這樣的二階命題我們可以寫出來，但一階不行，並且如果存在這樣的一階命題，那麽就如你所想的那樣必然導致矛盾，這就意味著該語言是內在不一致的。所以，\"任意命題都無法描述\"不會是一個自洽的語言可以寫出來的句子。
4．弱緊致基數
對於一階邏輯語言的擴張 L 入 u ，即對任意 a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入，允許語句的 a 次合取^ E \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; apa 和或取 VE \u0026 amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; lt ; a ゆ a 仍作為一個語句；以及對任意 B \u0026 amp ; amp ; am
本章尚未完結,請點擊下一頁繼續閱讀---->>>