p ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt : u ,允許語句中出現 B 次存在量詞＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; BxE 和全稱量詞 VE \u0026 a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; BxE ；若 Lkk 的字母表僅含有 k 個非邏輯符號，並且 Lkk 的子集（語句集） T 存在模型（一致）當且僅當 T 的每個基數＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑都存在模型（一致），則稱 k 是弱緊致基數。
對於不可數的弱緊致基數 k 可以證明：
k 是正則基數
假設 k 是奇異基數，取 k 的無界子集 x 有| x |\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，在字母表中添加常元符號（ ca : a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ; k } U { c }
定義語句集 T \u003d{ c ≠ ca : a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k } U { VAEXVa \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; Ac \u003d ca }
其中 V 入 EXVa \u0026 amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; lt ；入 c \u003d ca 是由 x |個形如 Va \u0026 amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; It ；入 c \u003d ca 的語句或取而成的，由於| X |\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; K ，這是一個合法語句但卻遍曆了每個 c a ，或取命題的成立隻需要其中一項為真即可，對於 T 基數＆ amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的含該語句的子集∑，其中都隻會含有個 c ≠ ca ，由 x 在 k 中無界，必然存在國＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; y , Va \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; yc \u003d ca 就可為真與其餘語句一致，但必與 T 的其餘語句矛盾。
2.k是極限基數
假設 k 是後繼基數，則存在入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ; k ，使得2入≥ K 。
在字母表中添加常元符號｛ ca : a \u0026 a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入｝ U {da0:a\u0026 am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; t ;사} U {da1:a\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; lt ;)}
並定義語句集
T \u003d{^ d \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入[( ca \u003dda0Vca\u003dda0)Ada0≠da1]} U { pf :fE21}
其中∧ a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; X [( ca \u003dda0Vca\u003dda0) A da0≠da1］可以直觀理解為定義了一個2入中的01序列 f *，中 f 則是使用 f 定義的形如 Va \u0026 amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ;\\ ca * daf ( a ）的語句，其為真就意味著必有一項 ca 不同於 f 在 a 處的得值，即 f *≠ f 。顯然， T 是不一致的。但對於 T 的基數＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; lt ; k 的子集∑，由於區＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ; ITI ，從而總能存在gE2入但中 g ≠∑,令 f *\u003d g 即可滿足
3.k是巨大馬洛基數
已知 k 是不可達基數，故| Vkl \u003d k ，對任一 UCVk ，擴充語言 Lkku ，其中含有謂詞符號 u ( x ）被解釋為 U ，再在其字母表中添加常元符號 c ，定義語句集 T \u003d{ p ELKKu :( VK , E , U )\u003dф} U {ф a ( x ) Ax \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; c : o \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; lt ; k }，其中中 a ( x ）是對序數 a 的定義，即對任意 a \u0026 amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 均有（ Vk , E )\u003dゆ a ( a )。由於 T基數＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 的子集∑都以（ Vk , E , U ）為模型，故 T 也存在模型（ M , E , U *)。由於（ Vk , E )\u003d-3 n \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; wxn ( xn 1 Exn ), E 是 M 上的良基關係，由坍塌定理可得（ M , E , U *）又由於 Vk 的每個元素均可定義，{ oELkku :( Vk , E , U )\u003d o ｝作為一個完備理論被（ M , E , U *）滿足，就存在（ Vk , E , U ）到（ M , E , U *)的初等嵌入使得（ VK , E , U ）是（ M , E , U *）的初等子模型。
設 U 為無界閉集，由於 UCU *，根據定義 sup ( UN k )\u003d K 可得 KEU *，而（ M , E , U *)\u003d u ( k ）蘊含（ M , E , U *)\u003d3хф(х)л u (х)( V к,е, U )\u003d3хф(х)л u ( x )，其中中（ x ）為一可由某一（ M , E , U *)見證的 k 所具有的性質。
4.k是門11﹣不可描述基數
由3．可知對任﹣ UCVk ，均存在初等嵌入使得（ Vk , E , U ）是（ M , E , U *)的初等子模型，擴充語言 Lkku 中的語句等價於以 U 為參數的語句，而 Vk 上的N11語句等價於 Vk 1上的N10語句，形如 VXEVK 1p( X ) Vk ，其中 p ( X ) Vk 是量詞轄域為 Vk 的一階語句，其成立取決於 Vk 和 U 中是否存在這樣或那樣的元素，由於 VkCM , Vk \u003d VkM ,, p ( X ) VK ( M , E , U *)\u003d o ( X ) Vk 。又由於 Vk
1MCVk 1，假設 VXEVk 1p( X ) Vk 但( M , E , U *)\u003d- VXEVk 1p( X ) Vk 即（ M , E , U *)\u003d3XEVk 1- p ( X ) Vk 就與假設矛盾
本章尚未完結,請點擊下一頁繼續閱讀---->>>