。故對於 Vk 上的N11語句中中 M ，並且若（ Vk , E , U )＝中則（ M , E , U *）滿足存在 a ,( Va , E , VaNU *)\u003d中，( Vk , E , U ）就也滿足存在 a ,( V a , E , VaNU *)\u003dф.
5．可測基數
問題：一個不可數基數 k 是可測基數（ measurable cardinal ）當且僅當 k 上存在 k ﹣完全的非主超濾。證明任何可測基數都是不可達基數（ inaccessible c ardinal )，即，都是正則且強極限的。
首先證明正則性。若 k 是奇異的，即 cf ( k )\u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。則可以取一個 k 的遞增的共尾序列（ ay \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kly \u0026 amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ))，使
supy \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay \u003d Uy \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) a y \u003d K
取 k 上的一個 k ﹣完全的非主超濾 U ，則 U 是均勻超濾，從而每個 ayEU ,即 k - ayEU ，於是：
UDny \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k )( k - ay )\u003d k - Uy \u0026 am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; cf ( k ) ay \u003d0
這與 U 的濾子的定義產生了矛盾。再來證明強極限。也即證明任何入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ，有2入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp; amp ; amp ; amp ; lt ; k 。現用反證法，反設存在某個入＆ amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k 使得2入 zk 。那麽可以取2入＝{ flf ：入→＞2｝的一個子集 S 使得| SI \u003d K 。並且按題意可以取 S 上的一個 k ﹣完全的非主超濾 U 。現在對於每個 a \u0026 amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;入，如果 Oa :\u003d{ fES | f ( a )\u003d0} EU ，則令 X a \u003d Oa , ca \u003d0；否則，我們有 la :\u003d{ fES f ( a )\u003d1} EU ，這時我們令 Xa \u003d la ，且 sa \u003d1。現在，我們定義了 U 上的一個長度為入的序列＜ XaEUla \u0026 amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入＞，因為 U 是 k ﹣完全的，所以 Na \u0026 amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;\\ XaEU ，但是，我們可以證明∩ a \u0026 amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入 Xa 中最多隻有一個元素，因為任何 fENa \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;) Xa ，都有 f ( a )\u003d ea , Va \u0026 amp ; amp ; am p ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ；入。這樣∩ a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; It ；入 Xa ∈ U ，這就引出了一對矛盾。
後話：看到有人不太理解強極限的證明。其實我們的目的很簡單，就是希望對每個 a \u0026 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; lt ；入，定義一個集合 XaE U ，和一個數 eaE {0,1}。而它們的值究竟什麽，則取於｛ fES | f ( a )\u003d0｝和｛ f ∈ s | f ( a )\u003d1｝哪一個屬於 U ，如果前者屬於 U ，則定義 Xa \u003d{ fES | f ( a )\u003d0}，且 ea \u003d0；如果後者屬於 U ，則定義 Xa \u003d{ fES f ( a )\u003d1}，且 sa \u003d1。因為 U 是超濾，可知這種定義是合理的。
強緊致基數
當且僅當每個 k ﹣完全濾波器都可以擴展為 k ﹣完全超濾器時，基數 k 是強緊湊的。
強緊基數最初是根據無限邏輯定義的，其中允許邏輯運算符采用無限多的操作數。常規基數 k 的邏輯是通過要求每個運算符的操作數量小於 k 來定義的；那麽 k 是強緊致的，如果它的邏輯滿足有限邏輯緊致性的模擬。具體來說，從其他一些陳述集合中得出的陳述也應該從基數小於 k 的某個子集合中得出。
強緊性意味著可測性，並被超緊性所暗示。鑒於相關基數存在，與 ZFC 一致的是第一個可測基數是強緊基數，或者第一個強緊基數是超緊基數；然而，這些不可能都是真的。強緊基數的可測極限是強緊的，但至少這樣的極限不是超緊的。
強緊性的一致性強度嚴格高於伍丁基數。一些集合論學家推測強緊基數的存在與超緊基數的存在是等一致的。然而，在開發出超緊基數的規範內模型理論之前，不太可能提供證明。
可擴展性是強緊湊性的二階類比。
強可展開基數
形式上，基數 k 是入不可折疊的，當且僅當對於 ZFC 負冪集的每個基數 k 的傳遞模型 M ，使得 k 在 M 中並且 M 包含其所有長度小於 k 的序列，有一個將 M 的非平凡初等嵌入 j 到傳遞模型中，其中 j 的臨一個基數是可展開的當且僅當它對於所有序數入都是入可展開的。
基數 K 是強入不可折疊的，當且僅當對於 ZFC 負冪集的每個基數 k 的傳遞模型 M 使得 K 在 M 中並且 M 包含其所有長度小於 k 的序列，有一個非﹣將 M 的 j 簡單基本嵌入到傳遞模型\" N \"中，其中 j 的臨界點為 k , j ( k )≥入，並且 V （入）是 N 的子集。不失一般性，我們也可以要求 N 包含其所有長度為入的序列。
【V\u003d終極L】
見證 ω - 武丁基數的那個核心模型被指控使用了力迫，因而不是典範的(canonical inner model)。
見證武丁基數的武丁極限的那個核心模型同樣被指控使用了力迫，並且原文是：
We extend the construction of Mitchell and Steel (Fine Structure and Iteration Trees, Lecture Notes in Logic, vol. 3, Springer, Berlin, 1994) to produce iterable 5ne structure models which may contain Woodin limits of Woodin cardinals, and more. The precise level reached is that of a cardinal which is both a Woodin cardinal and a limit of cardinals strong past it.
也就是其實比武丁基數的武丁極限要強得多（是強極限），然而很多論文都隻引用前者……
這包含了以下條款：
0. 見證 a 是武丁基數
見證 a 是武丁基數並是一個對全體武丁基數之極限
見證 a 是武丁基數並是一個對滿足(1)的全體基數之極限
...
γ. 見證 a 是武丁基數並是一個對滿足 (＜γ) 的全體基數之極限
...
a. 見證 a 是武丁基數並是一個滿足一切 (γ＜λ) 的全體 λ 基數之極限
另一方麵該內模型見證cUBH(弱唯一分支假設)成立，並見證 ◻a 對一切基數 a 成立
而
如果某個內模型見證一個基數 a 是 Π12 - 亞緊致基數存在則UBH(唯一分支假設)成立並破壞 ◻a。
如果某個內模型見證PFA成立(proper forcing axiom)也見證 Π12 - 亞緊致基數。
因而該內模型確實僅略低於並明確低於亞緊致基數，並且是內模型計劃關於PFA這個子目標的最好結果。
【馮·諾依曼宇宙V】
起初，無窮公理斷言了 V 中存在下列馮諾依曼序數
?{} ：被當做 0，因為沒有東西∈{}
?{{}}：被當做1，因為隻有0∈{0}，1也僅大於0
?{{}，{{}}}：被當做2，因為隻有0,1∈{0,1}，2也僅大於0和1
?{{}，{{}}，{{},{{}}}}：被當做3，因為隻有0,1,2∈{0,1,2}，3也僅大於0和1和2
?可以看出，被稱作馮諾依曼序數的集合，是在以∈關係模擬數字之間的＜關係，n 1就是簡單的把n的元素和n一起放到一個集合裏。這樣一來自然數集就天然的成為了一個無限序數ω，ω 1也能很自然的得到——怎
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